Двигатели этой серии были спроектированы для самолётов Аэробус. Двигатели отличаются высокими показателями тяги: от 98 кН до 151 кН. В отличие от двигателей 3-ей серии, установленных на Боингах, они оснащены цифровой системой управления FADEC, дающей повышенные характеристики при сохранении высокой надёжности. Существуют три разновидности двигателя: CFM56-5A, CFM56-5B и CFM56-5C.
Серия CFM56-5A предназначены для самолётов серии Аэробус A320 для полётов на короткие и средние расстояния. Тяга составляет от 98 кН до 118 кН. Эта серия была первой среди семейства CFM56-5. Двигатели серии являются производными от двигателей второй и третьей серии.
Двигатели CFM56-5B. Эти двигатели явились дальнейшей модернизацией двигателей CFM56-5A. Первоначально они были предназначены для самолётов Аэробус А321, а затем двигателями этого семейства были оснащены все самолёты семейства А320 (А318/А319/А320/А321) вместо ранее применяемого двигателя CFM56-5A. Среди отличий от двигателей CFM56-5A является двойная кольцевая технология камеры сгорания, уменьшающая выбросы окислов азота на 45%. Двигатели CFM56-5B являются наиболее распространёнными из поставляемых Аэробусу. Тяга составляет от 98 кН до 147 кН.